Mời các bạn cùng tìm hiểu thêm nội dung bài giảng Bài 4: không gian vectơ con sau đây để tìm hiểu về không gian vecto con, không khí vecto con sinh do hệ vecto.

Bạn đang xem: Không gian con của r3

Tập con(A e emptyset ) của Rn được hotline là không khí vectơ bé của Rn nếu:

(eginarrayl (i),,forall x,y in A,x + y in A\ (ii),forall alpha in R,forall x in A,alpha x in A endarray)

Ví dụ: mang đến (A = m (x_1;1)/x_1 in R m ). A bao gồm phải là không gian vectơ nhỏ của R2 ko ?

Giải:

Ta có: 2.(0; 1) = (0,2) ( otin )A

Vậy, đặc điểm (ii) ko thỏa yêu cầu A chưa phải là không khí vectơ con của R2.

Ví dụ: Cho (A = left (x_1;x_2) in R^2/x_2 = 3x_1 ight\). A gồm phải là không gian vectơcon của R2 không ?

Giải:

((i),Coi,x = (x_1;x_2) in A,,y = (y_1;y_2) in A,,thì,x_2 = 3x_2,và,y_2 = 3y_1)

Suy ra: (x + y = (x_1 + y_1;x_2 + y_2) in A,,vì,x_2 + y_2 = 3(x_1 + y_1))

((ii),,Coi,alpha in R,x = (x_1;x_2) in A,thì,x_2 = 3x)

Suy ra:(alpha x = (alpha x_1;alpha x_2) in A,vì,alpha x_2 = 3(alpha x_1))

Vậy, A là một không gian vectơ con của R2.

Trong R2:

Trong R3:

Từ khái niệm của không gian vectơ con, ta minh chứng được: trường hợp A là không gian vectơ nhỏ của Rn thì A cất vectơ không

Vậy trường hợp A không đựng vecto ko thì A chưa phải là không gian vectơ con.

Ví dụ: A =(x1; 1) không hẳn là không gian con của R2 vì A không chứa vectơ không.

2. Không gian vectơ bé sinh bởi hệ vectơ.

Cho V là hệ gồm m vectơ trong Rn.

Tập hợp toàn bộ các tổ hợp tuyến tính của m vectơ đó sản xuất thành một không khí con của Rn gọi là không khí sinh vì V, ký kết hiệu (leftlangle V ight angle ). Không gian (leftlangle V ight angle ) bao gồm số chiều thông qua số vectơ chủ quyền tuyến tính buổi tối đa của hệ vectơ đó.

Ví dụ: đến hệ vectơ V = (1;0;0),(0:1;0),(1;1;0). Tìm không gian con sinh bởi vì V cùng số chiều của không gian con này.

Giải

Ta có: (1;1;0) = (1;0;0) + (0;1;0)

(1;0;0),(0;1;0) tự do tuyến tính. Tổng hợp tuyến tính tùy ý của (1; 0; 0), (0; 1; 0) gồm dạng x1 (1; 0; 0) + x2 (0; 1; 0) = (x1 ; x2 ; 0)

Vậy, không gian con sinh bởi V là(leftlangle V ight angle = m ( mx_1;x_2;0)/x_1,x_2 in R m )có(dim leftlangle V ight angle = 2)

1. Các đại lý của không gian véctơ

Trong không gian $mathbbR^n$ từng hệ bao gồm $n$ véctơ $left P_1,P_2,...,P_n ight$ hòa bình tuyến tính được gọi là 1 trong những cơ sở của không gian $mathbbR^n.$

Ví dụ 1: Hệ bao gồm hai véctơ $P_1=(1,2),P_2=(-2,1)$ là một cơ sở của không gian $mathbbR^2$ bởi vì $P_1,P_2$ tự do tuyến tính vì không tỉ lệ.

Ví dụ 2: Hệ gồm cha véctơ $P_1=(1,0,0),P_2=(0,1,0),P_3=(0,0,1)$ là 1 trong những cơ sở của không khí $mathbbR^3$ do $P_1,P_2,P_3$ hòa bình tuyến tính.

Ví dụ 3: Hệ gồm n véctơ $E_1=(1,0,0,...,0),E_2=(0,1,0,...,0),...,E_n=(0,0,0,...,1)$ là một trong cơ sở của không khí $mathbbR^n.$

Ví dụ 4:Cho $A=left x_1,x_2,x_3 ight$ là 1 trong cơ sở của $mathbbR^3.$ minh chứng rằng $B=left y_1=x_1+2x_2-x_3,y_2=2x_1+19x_2-x_3,y_3=-x_1+x_2+31x_3 ight$ cũng là một trong những cơ sở của $mathbbR^3.$

Giải.Do $A=left x_1,x_2,x_3 ight$ là 1 trong cơ sở của $mathbbR^3$ buộc phải hệ véctơ $left x_1,x_2,x_3 ight$ độc lập tuyến tính, cho nên $mx_1+nx_2+px_3=0Leftrightarrow m=n=p=0.$

Xét đẳng thức:

$egingathered aleft( x_1 + 2x_2 - x_3 ight) + bleft( 2x_1 + 19x_2 - x_3 ight) + cleft( - x_1 + x_2 + 31x_3 ight) = 0 hfill \ Leftrightarrow left( a + 2b - c ight)x_1 + left( 2a + 19b + c ight)x_2 + left( - a - b + 31c ight)x_3 = 0 hfill \ Leftrightarrow left{ egingathered a + 2b - c = 0 hfill \ 2a + 19b + c = 0 hfill \ - a - b + 31c = 0 hfill \ endgathered ight. Leftrightarrow left{ egingathered a = 0 hfill \ b = 0 hfill \ c = 0 hfill \ endgathered ight.. hfill \ endgathered $

Do kia hệ véctơ $left y_1,y_2,y_3 ight$ chủ quyền tuyến tính hay $B=left y_1,y_2,y_3 ight$ là 1 cơ sở của $mathbbR^3.$

Ví dụ 5:Cho $left x_1,x_2,x_3 ight$ là 1 trong những cơ sở của $mathbbR^3.$ Tìm điều kiện của $m$ nhằm $left mx_1+x_2+3x_3,mx_1-2x_2+x_3,x_1-x_2+x_3 ight$ cũng là một trong cơ cở của $mathbbR^3.$

Giải.Xét điều kiện:

$egingathered a(mx_1 + x_2 + 3x_3) + b(mx_1 - 2x_2 + x_3) + c(x_1 - x_2 + x_3) = O hfill \ Leftrightarrow (ma + mb + c)x_1 + (a - 2b - c)x_2 + (3a + b + c)x_3 = O hfill \ Leftrightarrow left{ egingathered ma + mb + c = 0 hfill \ a - 2b - c = 0 hfill \ 3a + b + c = 0 hfill \ endgathered ight.(*). hfill \ endgathered $

Ta buộc phải tìm m nhằm (*) bao gồm nghiệm tuyệt nhất $(a;b;c) = (0;0;0) Leftrightarrow left| eginarray*20c m&m&1 \ 1& - 2& - 1 \ 3&1&1 endarray ight| e 0 Leftrightarrow 7 - 5m e 0 Leftrightarrow m e dfrac75.$

Ví dụ 6: Cho hệ véctơ $S=left e_1,e_2,e_3,e_4,e_5 ight\in mathbbR^4$ trong những số ấy

a) minh chứng rằng với mọi $a$ thì $S$ phụ thuộc vào tuyến tính

b) tra cứu một hệ véctơ hòa bình tuyến tính có tương đối nhiều véctơ độc nhất vô nhị trong $S$ cùng không phụ thuộc vào vào $a$

c) Tìm đk của $a$ để sau khi bỏ đi một véctơ trong $S$ ta được một cửa hàng của $mathbbR^4$

Giải. A) Vì số véctơ bao gồm trong S là 5 nhiều hơn thế nữa số chiều của $mathbbR^4$ là 4 phải S luôn phụ thuộc tuyến tính

b) Xét ma trận $A=left( e_2 ext e_1 ext e_4 ext e_3 ext e_5 ight)$ (cho $e_2$ đầu tiên vì thành phần đầu tiên của chính nó là số 1 dễ dàng cho biến hóa sơ cấp)

Biến đổi sơ cấp cho ma trận này $A = left( eginarray*20c 1&3&4& - 0,2&1 \ - 4&5& - 9&2,5&30 \ 2&7& - 5& - 0,3&4 \ 6&9& - 3& - 2,1&a endarray ight)xrightarroweginsubarrayl mathbf4mathbfd_mathbf1mathbf + mathbfd_mathbf2 \ mathbf - 2mathbfd_mathbf1mathbf + mathbfd_mathbf3 \ mathbf - 6mathbfd_mathbf1mathbf + mathbfd_mathbf4 endsubarray left( eginarray*20c 1&3&4& - 0,2&1 \ 0&17&3&1,7&34 \ 0&1& - 13&0,1&2 \ 0& - 9& - 27& - 0,9&a - 6 endarray ight)$

$xrightarroweginsubarrayl mathbf - dfracmathbf1mathbf17mathbfd_mathbf2mathbf + mathbfd_mathbf3 \ dfracmathbf9mathbf17mathbfd_mathbf2mathbf + mathbfd_mathbf4 endsubarray left( eginarray*20c 1&3&4& - 0,2&1 \ 0&17&3&1,7&34 \ 0&0& - dfrac22417&0&0 \ 0&0& - dfrac43217&0&a + 12 endarray ight)xrightarrowmathbf - dfracmathbf432mathbf224mathbfd_mathbf3mathbf + mathbfd_mathbf4left( eginarray*20c 1&3&4& - 0,2&1 \ 0&17&3&1,7&34 \ 0&0& - dfrac22417&0&0 \ 0&0&0&0&a + 12 endarray ight)$

Quan ngay cạnh ma trận sau cùng suy ra hệ véctơ $left e_2,e_1,e_4 ight$ hòa bình tuyến tính là hệ véctơ chủ quyền tuyến tính có nhiều véctơ tuyệt nhất trong $S$ với không dựa vào vào $a$

c) Quan ngay cạnh ma trận ở đầu cuối suy ra nếu $a+12 e 0Leftrightarrow a e -12$ thì hệ véctơ $left e_2,e_1,e_4,e_5 ight=Sackslash left e_3 ight$ hòa bình tuyến tính với nó là 1 trong những cơ sở của $mathbbR^4.$

2. Toạ độ của một véctơ đối với một cơ sở

Giả sử hệ véctơ $P_1,P_2,...,P_n$ là 1 trong những cơ sở của $mathbbR^n.$ lúc đó mọi véctơ $Xin mathbbR^n$ đầy đủ được biểu diễn tuyến tính một phương pháp duy độc nhất vô nhị qua hệ véctơ $P_1,P_2,...,P_n$, tức là luôn tồn tại độc nhất vô nhị $n$ số thực $alpha _1,alpha _2,...,alpha _n$ thế nào cho $X=alpha _1P_1+alpha _2P_2+...+alpha _nP_n.$ cỗ số $(alpha _1,alpha _2,...,alpha _n)$ được gọi là toạ độ của véctơ $X$ trong cửa hàng $left P_1,P_2,...,P_n ight.$

Ta đã hiểu được $(alpha _1,alpha _2,...,alpha _n)$ là nghiệm của hệ tuyến tính gồm ma trận hệ số mở rộng $overlineA=left( P_1P_2...P_nX ight)$ trong những số đó $P_1,P_2,...,P_n,X$ viết bên dưới dạng cột.

Ví dụ 1: Chứng minh rằng hệ bao gồm 3 véctơ $v_1=(1,1,1),v_2=(1,1,2),v_3=(1,2,3)$ là một cơ sở của $mathbbR^3$ với tìm toạ độ của véctơ $x=(6,9,14)$ so với cơ sở đó.

Ví dụ 2: Chứng minh rằng $B=left v_1,v_2,v_3 ight$ là 1 trong cơ sở của $mathbbR^3$ với tìm toạ độ của véctơ $v$ trong cơ sở đó:

a) $v_1=(2,1,1),v_2=(6,2,0),v_3=(7,0,7),v=(15,3,1).$

b) $v_1=(0,1,1),v_2=(2,3,0),v_3=(1,0,1),v=(2,3,0).$

c) $v_1=(1,2,-1),v_2=(2,3,0),v_3=(5,7,2),v=(2,-3,6).$

d) $v_1=(1,2,3),v_2=(1,3,-2),v_3=(2,3,-1),v=(2,-3,17).$

Ví dụ 3: Chứng minh rằng hệ bao gồm 4 véctơ $left P_1,P_2,P_3,P_4 ight$ dưới đây

$P_1=(1,2,-1,1),P_2=(5,9,2,-3),P_3=(3,5,5,-1),P_4=(4,7,3,-3)$

là một cơ sở của $mathbbR^4$ với tìm toạ độ của véctơ $X=(2,2,-3,0)$ trong các đại lý đó.

Giải.Xét ma trận $A$ nhận các véctơ đã đến lần lượt là các véctơ cột của $A.$

$egingathered A = left( eginarray*20c 1&5&3&4 \ 2&9&5&7 \ - 1&2&5&3 \ 1& - 3& - 1& - 3 endarray ight)xrightarroweginsubarrayl mathbf - 2mathbfd_mathbf1mathbf + mathbfd_mathbf2 \ mathbfd_mathbf1mathbf + mathbfd_mathbf3 \ mathbf - mathbfd_mathbf1mathbf + mathbfd_mathbf4 endsubarray left( eginarray*20c 1&5&3&4 \ 0& - 1& - 1& - 1 \ 0&7&8&7 \ 0& - 8& - 4& - 7 endarray ight) \ xrightarroweginsubarrayl mathbf7mathbfd_mathbf2mathbf + mathbfd_mathbf3 \ mathbf - 8mathbfd_mathbf2mathbf + mathbfd_mathbf4 endsubarray left( eginarray*20c 1&5&3&4 \ 0& - 1& - 1& - 1 \ 0&0&1&0 \ 0&0&4&1 endarray ight)xrightarrowmathbf - 4mathbfd_mathbf3mathbf + mathbfd_mathbf4left( eginarray*20c 1&5&3&4 \ 0& - 1& - 1& - 1 \ 0&0&1&0 \ 0&0&0&1 endarray ight). \ endgathered $

Quá trình khử ẩn xong ở dạng tam giác buộc phải hệ $left P_1,P_2,P_3,P_4 ight$ hòa bình tuyến tính, cho nên vì vậy hệ $left P_1,P_2,P_3,P_4 ight$ là 1 trong cơ sở của $mathbbR^4.$

Với $X=alpha _1P_1+alpha _2P_2+alpha _3P_3+alpha _4P_4Rightarrow (alpha _1,alpha _2,alpha _3,alpha _4)$ là nghiệm của hệ tất cả ma trận thông số mở rộng:

Vậy toạ độ của véctơ $X$ trong đại lý $left P_1,P_2,P_3,P_4 ight$ là $(36,-57,-15,74).$

Ví dụ 4: Tìm $m$ nhằm hệ tất cả 3 véctơ $P_1=(2,1,1),P_2=(6,2,0),P_3=(7,0,m)$ là 1 trong những cơ sở của $mathbbR^3.$

Ví dụ 5: Tìm $m$ để hệ có 4 véctơ $P_1=(1,2,-1,1),P_2=(5,9,2,-3),P_3=(3,5,5,-1),P_4=(4,7,3,m)$ là 1 cơ sở của $mathbbR^4.$

Ví dụ 6: Cho cho ba véctơ $X_1=(3,-2,4,1),X_2=(-2,1,3,-2),X_3=(-3,-1,k,2).$ tra cứu một véctơ $X_4in mathbbR^4$ để hệ véctơ $left X_1,X_2,X_3,X_4 ight$ là một trong cơ sở của $mathbbR^4.$

Giải. Gọi $X_4=(a,b,c,d).$ Xét ma trận A nhận những véctơ $X_1,X_2,X_3,X_4$ có tác dụng véctơ dòng, tất cả $A = left( eginarray*20c 3& - 2&4&1\ - 2&1&3& - 2\ - 3& - 1&k&2\ a&b&c&d endarray ight).$

Ta bắt buộc tìm $(a,b,c,d)$ làm thế nào để cho $det (A) e 0.$ triển khai theo cái 4 có:

$eginarrayc det (A) = aA_41 + bA_42 + cA_43 + dA_44\ = aA_41 + bA_42 + c( - 1)^4 + 3left| eginarray*20c 3& - 2&1\ - 2&1& - 2\ - 3& - 1&2 endarray ight| + dA_44\ = aA_41 + bA_42 + 15c + dA_44. endarray$

Vậy ta chỉ cần chọn $a=b=d=0,c e 0$ khi ấy $det (A)=15c e 0.$ Vậy $X_4=(0,0,c,0),c e 0.$

Ví dụ 7: Cho ba véctơ $X_1=(2,k,4,-1),X_2=(-3,1,2,k),X_3=(6,-1,-4,-2).$ search một véctơ $X_4in mathbbR^4$ để hệ véctơ $left X_1,X_2,X_3,X_4 ight$ là một trong cơ sở của $mathbbR^4.$

Giải. Gọi $X_4=(a,b,c,d).$ Xét ma trận A nhận các véctơ $X_1,X_2,X_3,X_4$ có tác dụng véctơ dòng, bao gồm $A = left( eginarray*20c 2&k&4& - 1\ - 3&1&2&k\ 6& - 1& - 4& - 2\ a&b&c&d endarray ight).$ Ta bắt buộc tìm $(a,b,c,d)$ thế nào cho $det (A) e 0.$ triển khai theo mẫu 4 có:

$eginarrayc det (A) = aA_41 + bA_42 + cA_43 + dA_44\ = aA_41 + bA_42 + cA_43 + d( - 1)^4 + 4left| eginarray*20c 2&k&4\ - 3&1&2\ 6& - 1& - 4 endarray ight|\ = aA_41 + bA_42 + cA_43 - 16d. endarray$

Vậy ta chỉ việc chọn $a=b=c=0,d e 0$ lúc ấy $det (A)=-16d e 0.$ Vậy $X_4=(0,0,0,d),d e 0.$

Ví dụ 8:Trong không khí $M_2left( mathbbR ight)$ gồm các ma trận vuông cung cấp 2 thông số thực mang đến hệ những ma trận $S = left left< eginarray*20c 1& - 1 \ 5&0 endarray ight>,left< eginarray*20c 0&2 \ - 2& - 1 endarray ight>,left< eginarray*20c 2&0 \ 8&m endarray ight>,left< eginarray*20c 1&1 \ 1&m + 1 endarray ight> ight.$

a) tìm kiếm $m$ để $S$ là 1 trong cơ sở của $M_2left( mathbbR ight).$

b) với $m=0,$ search toạ độ của ma trận left< eginarray*20c 1& - 1 \ 0&1 endarray ight>^ - 1> trong cửa hàng $S$ tương ứng.

Giải. A)Xét $xleft< eginarray*20c 1& - 1 \ 5&0 endarray ight> + yleft< eginarray*20c 0&2 \ - 2& - 1 endarray ight> + zleft< eginarray*20c 2&0 \ 8&m endarray ight> + tleft< eginarray*20c 1&1 \ 1&m + 1 endarray ight> = left< eginarray*20c 0&0 \ 0&0 endarray ight>$

$ Leftrightarrow left{ egingathered x + 2z + t = 0 hfill \ - x + 2y + t = 0 hfill \ 5x - 2y + 8z + t = 0 hfill \ - y + mz + left( m + 1 ight)t = 0 hfill \ endgathered ight.left( * ight)$

Đây là hệ thuần duy nhất 4 ẩn 4 phương trình tất cả ma trận thông số $A = left( eginarray*20c 1&0&2&1 \ - 1&2&0&1 \ 5& - 2&8&1 \ 0& - 1&m&m + 1 endarray ight);det left( A ight) = 4left( m + 1 ight).$

Để $S$ là 1 trong cơ sở của $M_2left( mathbbR ight)$ thì $S$ chủ quyền tuyến tính tức (*) chỉ gồm nghiệm tầm thường tức $det left( A ight) e 0Leftrightarrow m e -1.$

b) Ta bao gồm left< eginarray*20c 1& - 1 \ 0&1 endarray ight>^ - 1 = left< eginarray*20c 2&1 \ 0& - 1 endarray ight>left< eginarray*20c 1&1 \ 0&1 endarray ight> = left< eginarray*20c 2&3 \ 0& - 1 endarray ight>.>

Khi $m=0$ ta nên tìm $B = left< eginarray*20c 2&3 \ 0& - 1 endarray ight> = xleft< eginarray*20c 1& - 1 \ 5&0 endarray ight> + yleft< eginarray*20c 0&2 \ - 2& - 1 endarray ight> + zleft< eginarray*20c 2&0 \ 8&0 endarray ight> + tleft< eginarray*20c 1&1 \ 1&1 endarray ight>$

$ Leftrightarrow left{ egingathered x + 2z + t = 2 hfill \ - x + 2y + t = 3 hfill \ 5x - 2y + 8z + t = 0 hfill \ - y + t = - 1 hfill \ endgathered ight. Leftrightarrow x = 13/2;y = 7/2;z = - 7/2;t = 5/2$

Vậy toạ độ của $B$ trong cơ sở $S$ khi $m=0$ là $left( dfrac132;dfrac72;-dfrac72;dfrac52 ight).$

3. Cơ sở và số chiều của không khí con

Cho L là một không khí con của $mathbbR^n.$ Hệ véctơ $left P_1,P_2,...,P_k ight$ bên trong L được gọi là 1 cơ sở của L ví như thoả mãn đôi khi hai điều kiện:

i) Hệ $left P_1,P_2,...,P_k ight$ hòa bình tuyến tính;

ii) đông đảo véctơ $Xin L$ rất nhiều được trình diễn tuyến tính qua hệ véctơ $left P_1,P_2,...,P_k ight.$

Số véctơ của đại lý của L được điện thoại tư vấn là số chiều của L với được kí hiệu là dim
L.

Xem thêm: App đọc báo kiếm tiền trên điện thoại uy tín nhất, app đọc báo kiếm tiền là gì

Ví dụ 1: Cho không gian con $L=leftx_2=2x_1 ight.$ chứng minh rằng hệ tất cả hai véc tơ $P_1=(1,2,0),P_2=(1,2,1)$ là 1 trong những cơ sở của L.

Giải.Có $X=(x_1,2x_1,x_3)in L$ và $X=(x_1,2x_1,0)+(0,0,x_3)=x_1(1,2,0)+x_3(0,0,1)=x_1P_1+x_3P_2.$

Rõ ràng $P_1=(1,2,0),P_2=(0,0,1)$ tự do tuyến tính bởi vì chúng không tỉ lệ. Ta gồm điều bắt buộc chứng minh.

Ví dụ 2: Cho không khí con $L=leftx_1+x_3=0 ight.$ tra cứu một các đại lý và số chiều của L.

Giải.Có $Xin LRightarrow X=(x_1,x_2,-x_1)=(x_1,0,-x_1)+(0,x_2,0)=x_1(1,0,-1)+x_2(0,1,0).$

Ta tất cả $P_1=(1,0,-1),P_2=(0,1,0)$ độc lập tuyến tính bởi vì không tỉ lệ

và $X=x_1P_1+x_2P_2$ đề xuất hệ tất cả hai véctơ $left P_1,P_2 ight$ là một trong những cơ sở của L cùng $dim
L=2.$

Ví dụ 3: Cho không gian con $L=left X=(x_1,x_2,x_3)in mathbbR^3(a,b,cin mathbbR;a e 0).$ minh chứng rằng hệ có hai véctơ $P_1=left( -dfracba,1,0 ight),P_2=left( -dfracca,0,1 ight)$ là một trong những cơ sở của L.

Giải. Có $ax_1+bx_2+cx_3=0Leftrightarrow x_1=-dfracbax_2-dfraccax_3(a e 0).$

Vậy $X=left( -dfracbax_2-dfraccax_3,x_2,x_3 ight)=left( -dfracbax_2,x_2,0 ight)+left( -dfraccax_3,0,x_3 ight)=x_2left( -dfracba,1,0 ight)+x_3left( -dfracca,0,1 ight).$

Rõ ràng $P_1=left( -dfracba,1,0 ight),P_2=left( -dfracca,0,1 ight)$ chủ quyền tuyến tính vày không tỉ lệ yêu cầu hệ gồm hai véctơ $P_1=left( -dfracba,1,0 ight),P_2=left( -dfracca,0,1 ight)$ là 1 trong cơ sở của L.

Ví dụ 8: Cho không khí con $L=left X=(x_1,x_2,4x_1-5x_2)in mathbbR^3 ight.$ tra cứu một cơ sở và số chiều của L.

Ví dụ 9: Cho không khí con $L=left2x_1+x_2-x_4=0 ight.$ search một các đại lý và số chiều của L.

Ví dụ 10: Cho không khí con $L=left X=(a+2b-3c,2a-b-c,a+b-2c)in mathbbR^3 ight.$ tra cứu một cửa hàng và số chiều của L.

Ví dụ 11: Cho không khí con $L=left2a+b=c-3d ight.$ tìm một cơ sở và số chiều của L.

Ví dụ 12: Cho không khí con $L=leftx_1-3x_3+x_4=0,4x_1-x_2+2x_3-x_4=0 ight.$ kiếm tìm một cửa hàng và số chiều của L.

Ví dụ 13: Cho không gian con $L=left X=(4x_2+x_3+3,x_2,x_3,-3x_2+x_3)in mathbbR^4 ight.$ tìm một cơ sở và số chiều của L.

Ví dụ 14: Cho không gian con $L=leftax_1+bx_2+cx_3+dx_4=0 ight(a,b,c,din mathbbR;a e 0).$ minh chứng rằng hệ gồm ba véctơ $P_1=left( -dfracba,1,0,0 ight),P_2=left( -dfracca,0,1,0 ight),P_3=left( -dfracda,0,0,1 ight)$ là một cơ sở của L.

Giải.Có $ax_1+bx_2+cx_3+dx_4=0Leftrightarrow x_1=-dfracbax_2-dfraccax_3-dfracdax_4(a e 0).$

Vậy $eginarrayc X = left( - dfracbax_2 - dfraccax_3 - dfracdax_4,x_2,x_3,x_4 ight) = left( - dfracbax_2,x_2,0,0 ight) + left( - dfraccax_3,0,x_3,0 ight) + left( - dfracdax_4,0,0,x_4 ight)\ = x_2left( - dfracba,1,0,0 ight) + x_3left( - dfracca,0,1,0 ight) + x_4left( - dfracda,0,0,1 ight). endarray$

Rõ ràng $P_1=left( -dfracba,1,0,0 ight),P_2=left( -dfracca,0,1,0 ight),P_3=left( -dfracda,0,0,1 ight)$ tự do tuyến tính nên hệ có bavéctơ $P_1=left( -dfracba,1,0,0 ight),P_2=left( -dfracca,0,1,0 ight),P_3=left( -dfracda,0,0,1 ight)$ là một trong những cơ sở của L.

Ví dụ 15:Cho $L = left (x;y;z) in mathbbR^3;left ight.$

a) chứng minh rằng $L$ là không gian con của $mathbbR^3.$

b) Tìm cửa hàng và số chiều của $L.$

Giải.a) gồm $left| eginarray*20c x&y&z \ 1&0&1 \ 1&2& - 2 endarray ight| = 0 Leftrightarrow - 2x + 3y + 2z = 0 Leftrightarrow x = dfrac3y + 2z2 Rightarrow L = left X = left( dfrac3y + 2z2;y;z ight) in mathbbR^3 ight.$

Ta gồm $Xleft( 0;0;0 ight)in LRightarrow L e varnothing $ cùng $X=left( dfrac3y+2z2;y;z ight)in LRightarrow alpha X=left( dfrac3(alpha y)+2(alpha z)2;alpha y;alpha z ight)in L$ và $Y=left( dfrac3y_0+2z_02;y_0;z_0 ight)in LRightarrow X+Y=left( dfrac3left( y+y_0 ight)+2left( z+z_0 ight)2;y+y_0;z+z_0 ight)in L.$

Vậy $L$ là không gian con của $mathbbR^3.$

b) Ta tất cả $X=left( dfrac3y+2z2;y;z ight)=left( dfrac32y;y;0 ight)+left( z;0;z ight)=yleft( dfrac32;1;0 ight)+zleft( 1;0;1 ight)=yP_1+zP_2.$

Trong đó $P_1=left( dfrac32;1;0 ight),P_2left( 1;0;1 ight)$ cùng $left P_1,P_2 ight$ độc lập tuyến tính bởi vì chúng không tỷ lệ.

Vậy $left P_1,P_2 ight$ là 1 trong cơ sở của $L$ và $dim
L=2.$

Hiện trên lehuutam.com thành lập 2 khoá học Toán cao cấp 1 với Toán thời thượng 2 dành riêng cho sinh viên năm nhất hệ Cao đẳng, đại học khối ngành kinh tế tài chính của tất cả các trường:

Khoá học cung ứng đầy đủ kiến thức và kỹ năng và phương thức giải bài tập những dạng toán đi kèm theo mỗi bài học. Khối hệ thống bài tập tập luyện dạng từ luận tất cả lời giải chi tiết tại website sẽ giúp đỡ học viên học nhanh và vận dụng chắc chắn kiến thức. Kim chỉ nam của khoá học giúp học viên lấy điểm A thi cuối kì những học phần Toán thời thượng 1 với Toán thời thượng 2 trong các trường ghê tế.

Sinh viên những trường ĐH sau đây hoàn toàn có thể học được combo này:

- ĐH kinh tế Quốc Dân

- ĐH ngoại Thương

- ĐH thương Mại

- học viện chuyên nghành Tài Chính

- học viện chuyên nghành ngân hàng

- ĐH kinh tế ĐH đất nước Hà Nội

và các trường đại học, ngành tài chính của các trường ĐH khác trên khắp cả nước...